Cosa sono i logaritmi in espansione?

Molte equazioni possono essere semplificate espandendo i logaritmi. Il termine "logaritmi in espansione" non si riferisce ai logaritmi che si espandono, ma piuttosto a un processo mediante il quale una espressione matematica viene sostituita con un'altra in base a regole specifiche. Ci sono tre di queste regole. Ognuno di essi corrisponde a una particolare proprietà degli esponenti perché prendere un logaritmo è l'inverso funzionale dell'esponente: log 3 (9) = 2 perché 3 2 = 9.

La regola più comune per espandere i logaritmi viene utilizzata per separare i prodotti. Il logaritmo di un prodotto è la somma dei rispettivi logaritmi: registra a ( x * y ) = registra a ( x ) + registra a (y). Questa equazione deriva dalla formula a x * a y = a x + y . Può essere esteso a più fattori: registra a ( x * y * z * w ) = registra a ( x ) + registra a ( y ) + registra a ( z ) + registra a ( w ).

Aumentare un numero a una potenza negativa equivale a innalzare il suo reciproco a una potenza positiva: 5 -2 = (1/5) 2 = 1/25. La proprietà equivalente per i logaritmi è che log a (1 / x ) = -log a ( x ). Quando questa proprietà è combinata con la regola del prodotto, fornisce una legge per prendere il logaritmo di un rapporto: log a ( x / y ) = log a ( x ) - log a ( y ).

L'ultima regola per espandere i logaritmi si riferisce al logaritmo di un numero elevato a una potenza. Utilizzando la regola del prodotto, si trova che registra a ( x 2 ) = registra a ( x ) + registra a ( x ) = 2 * registra a ( x ). Allo stesso modo, registra a ( x 3 ) = registra a ( x ) + registra a ( x ) + registra a ( x ) = 3 * registra a ( x ). In generale, registra a ( x n ) = n * registra a ( x ), anche se n non è un numero intero.

Queste regole possono essere combinate per espandere le espressioni di registro di carattere più complesso. Ad esempio, si può applicare la seconda regola per registrare a ( x 2 y / z ), ottenendo l'espressione log a ( x 2 y ) - log a (z). Quindi la prima regola può essere applicata al primo termine, producendo log a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ). Infine, l'applicazione della terza regola porta all'espressione 2 * log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ).

I logaritmi in espansione consentono di risolvere rapidamente molte equazioni. Ad esempio, qualcuno potrebbe aprire un conto di risparmio con $ 400 dollari USA. Se il conto paga il 2% di interesse annuo composto mensilmente, il numero di mesi richiesti prima che il conto raddoppi di valore può essere trovato con l'equazione 400 * (1 + 0,02 / 12) m = 800. Divisione per 400 rendimenti (1 + 0,02 / 12) m = 2. Il logaritmo in base 10 di entrambi i lati genera il log delle equazioni 10 (1 + 0,02 / 12) m = log 10 (2).

Questa equazione può essere semplificata usando la regola della potenza per m * log 10 (1 + 0,02 / 12) = log 10 (2). Utilizzando una calcolatrice per trovare i logaritmi si ottiene m * (0.00072322) = 0,30102. Si scopre dopo aver risolto per m che ci vorranno 417 mesi perché il conto raddoppi in valore se non viene depositato denaro aggiuntivo.

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